Encuentra sobre el lado AB de un triángulo un punto tal que la suma de distancias a los otros dos lados sea mínima/máxima.

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Trazamos las lineas MR || AC y M'S || BC, y tenemos que estudiar quien es mayor MP+MQ o M'P'+M'Q'.

MP+MS+SQ o M'R+RP'+M'Q'

pero MP = RP' y SQ = M'Q', así pues, sólo tenemos que comparar:

MS ? M'R'.

Consideramos los triángulos rectángulos MRM' y MSM', cuya hipotenusa es común, y observemos que el ángulo MM'S es 90º - A y está opuesto al lado MS, y que el ángulo RMM' = 90º - B se opone al lado M'R. Por tanto, como a mayor ángulo se opone mayor lado tendremos que si A > B entonces MS < M'R.

La suma de distancias disminuye cuando nos acercamos al vértice cuyo ángulo tiene mayor amplitud y disminuye en sentido contrario.

Pepe Martínez, 9/10/2005, Creado con GeoGebra