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Todo triángulo es equivalente a un paralelogramo de igual base y mitad de altura. Observa el dibujo y mueve los puntos.
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A partir de la figura serías capaz de obtener la conocida fórmula: "el área de un triángulo es 1/2 base . altura". O bien es la mitad de un paralelogramo de igual base e igual altura. |
Dado un triángulo ABC, notaremos su área por [ABC].
Problema.- La base de un rectángulo ABCD es 8 cm y su altura es 3 cm. Dividimos la diagonal AC en tres partes iguales mediante los puntos E y F. ¿Cuánto vale el área del triángulo BEF? Solución
Problema .- Dado un polígono de siete lados obtener un triángulo equivalente (de la misma área).
Teorema.- El área de un triángulo es independiente del lado y la altura elegidos
Los triángulos BHbA y CHcA son semejantes, pues son triángulos rectángulos y los ángulo ABHb y ACHc valen 90º-A.
Por tanto, c/hb = b/hc, es decir, c hc = b hb.
Problema OM"El Bohio"IV_6.- Dado un triángulo cualquiera ABC, trazamos sus tres medianas, dividiendo el triángulo en seis triángulos. Demostrar que los seis tienen el mismo área. Solución.
Problema Puig Adam VI,1988.- Demostrar que si un triángulo de área S el producto de sus medianas vale 3/2 S, entonces dichas medianas son perpendiculares. Solución.
Problema.- Un triángulo tiene por lados AB = BC = 50 y el lado AC, vale 60, halla el radio de la circunferencia circunscrita. Solución.
Problema Puig Adam 1991.- Sea un triángulo ABC tal que a > b y a+ha £ b+hb. Calcula el valor de c. Solución.
Diremos que un triángulo es multiplicativo si el producto de las longitudes de dos de sus lados es igual a la longitud del tercer lado.
OME 2005 Problema 3.- Sea ABC...XYZ un polígono regular de n lados con todos sus lados de longitud 1. Las n – 3 diagonales que salen del vértice A dividen al triángulo ZAB en n – 2 triángulos más pequeños. Probar que cada uno de esos triángulos es multiplicativo. Solución.
Problema .- En el triángulo ABC, sea AD la mediana. Prueba que si los radios de los círculos inscritos en ABD y ACD son iguales, entonces AB = AC. Solución.
Observando la figura
vemos que el área del triángulo ABC, será:
Área (A,B,C) = área(A,C,Ia)+ área(A,B,Ia) - área(B,C,Ia), es decir,
Área (ABC)= 1/2 c ra + 1/2 b ra- 1/2 a ra = 1/2 (b + c - a) ra = (p - a) ra
Sabemos que área(A,B,C) = T= p r = (p-a) ra Þ T2 = p (p-a) r ra ,observando la figura observamos que, los triángulos FOC y ECM son semejantes, y por tanto r ra = CM CO = (p-b) (p-c). Sustituyendo se obtiene la conocida fórmula de Herón:
T = Ö p(p-a)(p-b)(p-c)
OME 1979/1980 Problema 8.- Determinar todos los triángulos tales que las longitudes de los tres lados y su área estén dados por cuatro números naturales consecutivos. Solución.
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