Ángulo
central es el formado por dos radios de una circunferencia. En una circunferencia
los ángulos centrales tienen una medida proporcional a sus arcos y la
razón de proporcionalidad es el radio.
Observemos que a ángulos centrales iguales corresponden cuerdas iguales.
Y a mayor arco corresponde mayor cuerda, siempre que esta no exceda de una semicircunferencia.
Llamaremos ángulo
inscrito en una circunferencia a aquel que tiene su vértice sobre la
circunferencia y sus lados son rectas secantes..
El ángulo BAC, inscrito en la circunferencia, mide la mitad del arco que abarca
Vamos a demostrarlo en tres fases:
Ejercicio 2.- Dada una circunferencia O de radio R, se trazan dos cuerdas paralelas, cada una a distinto lado del centro, tales que una de ellas es el lado del triángulo equilátero inscrito y la otra el lado del cuadrado inscrito. Calcular el valor de estas cuerdas y la medida de los cuatro arcos que determinan.
Ejercicio 3.- ¿Cuánto mide el ángulo BAC si BC es un diámetro y A esta sobre la circunferencia?
Ejercicio 4.- Dos triángulos rectángulos tienen la misma hipotenusa y la misma circunferencia circunscrita. Probar que el centro de esta circunferencia es el punto medio de la hipotenusa compartida.
El lugar geométrico de los puntos P bajo los que se ve el segmento
AB, según un ángulo APB dado, se llama arco
capaz y está formado por dos arcos de circunferencia simétricos
respecto del segmento AB.
Ángulo
semiinscrito
Es aquel ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia,
un lado tangente y el otro secante.
Su medida es la mitad del arco que abarca.
Se puede considerar un caso límite del ángulo inscrito cuando uno de los lados tiene los puntos de corte coincidentes con el vértice. También lo podemos demostrar directamente:
Ángulo
exinscrito
Se le llama así al ángulo que tiene su vértice sobre la
circunferencia, un lado es secante y el otro exterior a la circunferencia.
Su medida es la semisuma de los arcos comprendidos entre los lados del ángulo
y entre los lados del opuesto por el vértice.
Ángulo
interior
Es aquel que tiene el vértice en el interior de la circunferencia.
Su medida es igual a la semisuma de los arcos interceptados por él
por su opuesto por el vértice.
El ángulo BAC es exterior al triángulo EAB, y por tanto mide igual que BEA+ABE y BEA es un ángulo inscrito al igual que ABE.
Ángulo
exterior
Su vértice esta fuera de la circunferencia y sus lados son secantes.
Su medida es la semidiferencia entre las amplitudes de los arcos que abarca.
El ángulo beta = EBF es exterior al triángulo ABF y EBF = BAF + AFB, de donde, BAF = EBF - AFB, ambos ángulos inscritos.
Cuadrilátero
inscriptible
Un cuadrilátero
se dice cíclico (o inscriptible)
en una circunferencia si todos sus vértices están sobre ella.
Ejercicio 7.- Sea C una circunferencia y P un punto exterior a ella. Construir las rectas tangentes a la circunferencia que pasan por P.
Ejercicio 10.- La distancia de un punto M tomado
en la circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero, a
uno de los vértices, es igual a la suma de las distancias de ese mismo
punto a los otros dos vértices.
Hallandose el punto M entre B y C si se prolonga MC o MB una longitud MD = MA,
el triángulo MAD es equilátero. Solución
Ejercicio 11.- Dada la circunferencia de centro O, desde el punto A se traza la secante ABC, de modo que sea AB = R, y se traza AOD que pasa por el centro. Demostrar que COD =3 A. Solución
Ejercicio 12.- Si dos circunferencias se cortan en los puntos A y B, y por estos puntos se traza dos secantes paralelas, las rectas que unen sus extremos en cada circunferencia son paralelas. Solución
Ejercicio 13.- Dos circunferencias iguales de centros O y O' se cortan en A y B. Por A se traza una secante común CAD. Demostrar que CBD es isósceles. Solución
Ejercicio 14.- Por el punto de tangencia de dos
circunferencias se traza una secante común. Demostrar:
1. Que los radios trazados en los extremos de la secante son paralelos.
2. Que las tangentes trazadas en esos mismos extremos serán también
paralelas.
3. Que los arcos tienen igual valor. Solución
Ejercicio 15.- Por el punto de contacto de dos circunferencias tangentes exteriormente se trazan dos secante comunes cualesquiera. Demostrar que las rectas que unen los extremos de dichas secantes en cada circunferencia son paralelas. ¿Sería lo mismo cuando las dos circunferencias fuesen tangentes interiores?
Relaciones métricas en la circunferencia:
Tomemos un diámetro
y las cuerdas trazadas por los extremos a un punto A sobre la circunferencia,
podemos decir:
1. Toda cuerda es media proporcional entre el diámetro y la proyección
de la cuerda sobre el diámetro que pasa por su extremo.
AE AB
——— = ——— Þ
AB AC
Þ AB2 = AE · AC
2.
La semicuerda perpendicular a un diámetro es media proporcional entre
los segmentos en que divide al diámetro.
3. Los cuadrados de dos cuerdas trazadas por un mismo extremo de un diámetro,
son proporcionales a las proyecciones de dichas cuerdas sobre el diámetro.
4. Los cuadrados de las cuerdas que tienen un extremo común con el diámetro,
son proporcionales a las proyecciones de dichas cuerdas sobre el diámetro.
Sea P un punto del plano y c una circunferencia de dicho plano, si trazamos dos semirrectas con origen en P y que corten a c en los puntos C, D y E, F respectivamente, se verifica PC PD = PE PF.
*Utilizamos vectores en lugar de segmentos para obtener un producto negativo si el punto es interior a la circunferencia. Hemos de observar que los segmentos son no orientados en Geogebra.
Ejercicio 16.- La suma de los diámetros de la circunferencia circunscrita e inscrita a un triángulo rectángulo es igual a la suma de los catetos. Solución
Para obtener la ecuación de la potencia de un punto P(a,b) respecto de una circunferencia (x-c1)2+(y-c1)2=r2, podemos utilizar una recta cualquiera, la más sencilla es la que pasa por el centro de la circunferencia.
Si el punto es exterior podemos encontrar una forma más sencilla de obtener la fórmula
Definición.- Se llama eje radical de dos circunferencias al lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencia con respecto a ambas circunferencias.
Sean las circunferencias C de centro O y radio r y C' de centro O' y radio R, un punto P tendrá igual potencia respecto de C y C' si:
PC2-r2=PC'2-R2
PC2-PC'2=r2-R2=cte.
El lugar geométrico de puntos cuya diferencia de cuadrados de distancias a los puntos C y C' es constante es una recta perpendicular a la recta que une los puntos C y C'.
Ejercicio.-
Dadas dos circunferencias
tangentes interiores de radios R y r respectivamente, con R > r, sea T el
punto de tangencia. Sea AB una cuerda de la circunferencia de radio R que es
tangente a la otra en P.
Probar que TP biseca el ángulo ATB.
Definición.- Se llama centro radical de tres circunferencias al punto que tiene igual potencia con respecto a las circunferencias.
Este punto será el punto de intersección de los ejes radicales de las circunferncias tomadas dos a dos.
Ejercicio.- El ortocentro de un triángulo es el centro radical de las tres circunferencias con diámetros respectivos los lados del triángulo.
Ejercicio 19.- ABCD es un trapecio rectángulo. Se trazan dos circunferencias que tienen a los lados AB y CD como diámetros. Estas circunferencias se cortan en los puntos P y Q. La recta que pasa por P y Q corta al lado BC en M. Probar que M es el punto medio de BC. Solución
Ejercicio 20.- Probar que si dos circunferencias se intersecan, el eje radical es la línea que une los puntos de intersección. Solución.
Ejercicio 21.- ¿Qué relación verifican las circunferencias ortogonales?
Ejercicio 22.- El producto de los lados de un triángulo es igual al producto de los segmentos que la bisectriz interior determina sobre el tercero, más el cuadrado de dicha bisectriz. Solución
Ejercicio 23 (Teorema de Napoleón).- Dado un triángulo ABC, se construye sobre cada lado un triángulo equilátero y se trazan las circunferencias circunscritas, probar que se cortan en un punto. Probar que el triángulo que se obtiene uniendo los circuncentros es equilátero. Solución