# Integración Múltiple

## Integrales iteradas sobre rectángulos

Para integrar la función f(x,y) sobre el intervalo [a,b] x [c,d], solo necesitamos usar la función integrate dos veces

/* Vamos a integrar la función f(x,y):=3*x*y sobre el rectángulo[0,1]x[2,6] */
f(x,y):= 3*x*y;

/* Primera integral iterada: Respecto de y */
pi1: integrate(f(x,y),y,2,6);

/* Segunda integral iterada: Respecto de x */
integrate(pi1,x,0,1);

/* Aunque también podemos integra primero respecto de x */
pi1: integrate(f(x,y),x,0,1);

/* y el resultado, respecto de y */
integrate(pi1,y,2,6);

/* o en otro */
integrate(integrate(f(x,y),x,0,1),y,2,6);

## Integrales dobles sobre dominios regulares

Recordemos que el teorema de Fubini se puede aplicar a conjuntos de la forma

D = {(x,y) | a <= x <= b;  h(x) <= y <= g(x)}

o de la forma

D = {(x,y) | h(y) <= x <= g(y);  c <= y <= d}

La integral se resuelve usando integrate y los extremos de integración adecuados

f(x,y):=x*y;
h(x) := x^2;
g(x):=x;
load(draw)$
draw2d(color=blue,implicit(y=h(x),x,0,1,y,0,1),color=red,implicit(y=g(x),x,0,1,y,0,1));

integrate(integrate(f(x,y),y,h(x),g(x)),x,0,1);

f(x,y):=exp(x/y);
h(y) :=y^3;
g(y):=y^2;
load(draw)$
draw2d(color=blue,implicit(x=h(y),x,0,1,y,0,1),color=red,implicit(x=g(y),x,0,1,y,0,1));

integrate(integrate(f(x,y),x,h(y),g(y)),y,0,1);

EJEMPLO 2:

Calcula la integral de la función f(x,y) = x^2 + y ^2 sobre el conjunto

A = {(x,y) | (x^2+y^2)^2 <= 4(x^2-y^2), x>=0}

Representamos el conjunto

f(x,y):=x^2+y^2;
load(draw)$
draw2d(color=blue,implicit( (x^2+y^2)^2 = 4*(x^2-y^2),x,0,2,y,-1,1));

Mejor representarla en polares


x = r cos(t)
y = r sin(t)

El conjunto sería

D = { (r,t) | r^4 <= 4r^2(cos^2 t - sin^2 t), r cos t >=0} 

     = { (r,t) | r^2 <= 4(cos^2 t - sin^2 t),  cos t >=0} 

     = { (r,t) | r <= 2 sqrt((cos^2 t - sin^2 t)), cos t >=0} 

Como cos^2(t) - sin^2(t) = cos(2t) ==> sqrt(cos^2(t) - sin^2(t)) = sqrt(cos(2t)) y por tanto cos(2t)>=0, lo que implica que -π/2 <= 2t <= π/2
y por tanto  -π/4 <= t <= π/4

La integral con el cambio de variable incluye el Jacobiano del cambio de variable que es 

 /                                   /
 | (x^2+y^2) dx dy =    |   r^2  r dr dt
/ D                               / A

integrate(integrate(r^3,r,0,2*sqrt(cos(2*t))),t,-%pi/4,%pi/4);

f(x,y) = sqrt(4x^2 -y^2)

Recinto limitado por x=1, y=0, y=x

D = { (x,y) |  0<= x <= 1; 0<= y <= x}

f(x,y):=sqrt(4*x^2-y^2);
h(x) :=0;
g(x):= x;
load(draw)$
draw2d(color=blue,implicit(y=h(x),x,0,1,y,0,1),color=red,implicit(y=g(x),x,0,1,y,0,1));

integrate(integrate(f(x,y),y,h(x),g(x)),x,0,1);