Teorema de Stewart

El teorema de Stewart se utiliza para calcular las longitudes de las cevianas

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Sea el triángulo ABC y sea Ma el punto medio del lado BC, aplicamos el teorema del coseno a los triángulos ABMa y AMaC, c2 = (a/2)2 + m2c - 2 a/2 mc cos(BMaA) y b2 =(a/2)2 + m2c - 2 a/2 mc cos (180º-BMMa).

Sumando miembro a miembro, obtenemos: b2 + c2 = 2 m2c + (a/2)2.

RMM se obtiene: b2-c2 = 2 a MaHa

Consideramos un punto D en el lado BC, y las proyecciones de los lados sobre el lado AB son respectivamente m y n, aplicamos el teorema del coseno a los triángulos ABD y DCA y obtenemos:

c2 = n2 + d2 - 2 n d cos(BDA)

b2 =m2+d2- 2 md cos(ADC)

Ahora no podemos eliminar, sumando miembro a miembro el término que contiene a 2 m d cos(BDA), pues m y n no tienen por qué ser iguales. Para eliminarlos multiplicamos la primera igualdad por m y la segunda por n y sumamos.

m c2 +n b2 = (n+m) d2 +m n2 + n m2

m c2 + n b2 = a d2 +a n m = a (d2 + m n)

resultado que se conoce como Teorema de Stewart.

Problema (Teorema de Apolonio).- Halla la longitud de la mediana ma, en función de los lados a, b, c de un triángulo. Solución

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Teorema de Ceva. Teorema de Menelao.
Problemas

 

Pepe Martínez, 18/10/2005, creado con GeoGebra