Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras es el más rico en la historia de la Geometría, ningún otro ha recibido tantas atenciones, ni se le han buscado tantas demostraciones, su importancia radica en que aparece en muchas ramas de las matemáticas, recordemos la famosa ecuación x2+y2 = z2, tan ligada a la historia reciente de las matemáticas (último teorema de Fermat).

Como dice Kepler "la geometría tiene dos grandes tesoros, uno es el teorema de Pitágoras y otro la división de un segmento en media y extrema razón. Si el primero es una joya de oro, el segundo viene a ser una piedra preciosa"(1).

El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

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El área del cuadrado ABFE es el doble del área del triángulo FCB, ya que tienen la misma base y están situados entre paralelas

Los triángulos FCB y ABI son iguales:

Dos lados iguales AB = BF y BI = BC y un ángulo igual FBC= ABI.

El área del rectángulo BIKN es doble del área del triángulo ABI pues tienen la misma base y están situados entre paralelas.

De donde tenemos:

[BIKN]= 2 [ABI] = 2 [FBC] = [ABFE]

[CJKN] = 2 [AJC] = 2 [BCH] = [ACHG]

y por tanto:

[ABFE] + [ACHG] = [BIKN]+[CJKN] = =[BIJC]

 

Reciprocamente. Si en un triángulo el cuadrado construido sobre uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los restantes lados del triángulo, el ángulo comprendido por estos dos lados es recto.

Demostración.- Tomamos un segmento AD = AB y perpendicular a AC, como AB2+AC2 = BC2 y por ser rectángulo el triángulo ADC, se tiene

AD2 + AC2 = DC2

pero AD = AB

BC^2 = AB2 + AC2 = AD2 +AC2 = DC2

y BC = DC y los triángulos DAC y CAB son congruentes, por tener los tres lados iguales.

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Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now) Leonardo añade los triánagulos DKE y HCI y prueba que los cuadriláteros GJIH, GHIK son congruentes con CAEK y CBDK respectivamente

 

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DC = DA + AC = AB + AC, CE = AE - AC = AB - AC

DC . DE = (AB + AC) . (AB - AC) = AB2 - AC2

Aplicando la potencia del punto C respecto de la circunferencia, tendremos que:

DC . CE = CB2

de donde:

AB2 = AC2 + CB2

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now) El cuadrado sobre el cateto mayor se divide en cuatro partes iguales, mediante segmentos perpendiculares que se cortan en el centro del cuadrado, siendo uno de los lados paralelo a la hipotenusa. Se desplazan estos cuatro polígonos, junto al cuadrado construido sobre el cateto menor.
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La demostración consiste en hallar de dos formas distintas el área del trapecio:

S= (a+b) (a+b)/2 = ab/2+ ab/2+c2/2

de donde:

a2+2ab+b2=2 ab + c2

y por tanto:

a2+b2=c2

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IV O.M. "El Bohio" Problema 7.- Un junco enraizado en el fondo de un estanque se encuentra a 90 cm. de la orilla, y su cabeza se eleva 30 cm. sobre el agua. Por la fuerza del viento se ha inclinado (sin doblarse) de modo que su cabeza toca la orilla a ras de agua. ¿Cuál es la profundidad del estanque y la altura del junco? Solución

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Portada. Introducción. Conceptos. Cicuncentro. Ortocentro. Incentro. Baricentro. Semejanza. Teorema del seno.
Teorema de la altura.
Teorema del coseno. Recta de Euler. Círculo de los nueve puntos. Teorema de Ceva.
Teorema de Menelao
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Teorema de Stewart. Problemas

 

 

(1) González, P.M., Pitágoras el filósofo del número, Nivola, 2001

Todas las demostraciones de esta página están sacadas del libro anterior, salvo la de De la Campa.