OME 1979/1980 Problema 8.- Determinar todos los triángulos tales que las longitudes de los tres lados y su área estén dados por cuatro números naturales consecutivos.

Sea el triángulo de lados x, x-1, x+1; su área será x+2 o x-2.
Utilizamos la fórmula de Herón para el cálculo del área. S2 = p (p-a)(p-b)(p-c), donde p es el semiperímetro.

p = 3x/2, p - a = x /2, p - (x -1) = (x+2)/2 , p - (x+1) = (x-2)/2.

S2 = 3x /2 . x /2 . (x+2) /2 . (x+2)/2 . (x-2)/2 =3 x2 (x2 - 4)/16

  1. 3 x2 (x2 - 4)/16 = (x+2)2 Þ 3 x4 - 4 x2 = 16 ( x2+4x+4); 3 x4 - 28 x2 - 64x - 64 = 0 que probando por Ruffini nos da la solución x = 4 como única solución posible.
  2. 3 x2 (x2 - 4)/16 = (x-2)2 Þ 3 x4 - 4 x2 = 16 ( x2-4x+4); cuya única solución es x = 2, el triángulo tendría por lados 1,2 y 3, que evidentemente no forman triángulo.