Teorema de Menelao

El teorema de Ceva nos permitía estudiar cuando tres cevianas son concurrentes, el teorema de Menelao, estudia la alineación de puntos.

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Teorema de Menelao.- Sea X', Y , Z puntos de los lados BC, CA y AB respectivamente (o de sus prolongaciones). Estos puntos están alineados si y sólo si BX'/X'C CY/YA AZ/ZB = -1

Demostración.- Trazamos una paralela a la recta YZ por el vértice C, que cortará al lado AB en un punto W, por tanto:

BX'/X'C = BZ/ZW y CY/YA = WZ/ZA
BX'/X'C . CY/YA . AZ/ZB = BZ/ZW . WZ/ZA . AZ/ZB = (-1)(-1)(-1)= - 1

Reciprocamente. Veamos que los puntos están alineados. Supongamos que X' y Z intersecan a AC en un punto Y', entonces por la condición suficiente, tendremos que:

BX'/X'C CY'/Y'A AZ/ZB = -1 y además BX'/X'C CY/YA AZ/ZB = -1,

dividiendo ambas expresiones, obtenemos:

CY'/Y'A = CY/YA

y el punto Y e Y' dividen al segmento AC en la misma razón y por consiguiente son iguales.

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Portada. Introducción. Conceptos. Cicuncentro. Ortocentro. Incentro. Baricentro. Semejanza. Teorema de Pitágoras.
Teorema del seno. Teorema de la altura. Teorema del coseno. Área. Recta de Euler. Círculo de los nueve puntos.
Teorema de Ceva.
Teorema de Stewart. Problemas

Pepe Martínez, 19/10/2005, creado con GeoGebra