Introducción

La siguiente Unidad Didáctica está dividida en varias secciones, lo que permite el estudio independiente de cada una de ellas. Las secciones pueden fácilmente adaptarse a la E.S.O. (conceptos básicos, puntos notables, relaciones métricas,...) y al primer curso de Bachillerato (teorema del seno, de la altura, del coseno,...).
Todas las secciones vienen aderezadas con problemas (no ejercicios), ya que considero que la resolución de problemas en la asignatura de Matemáticas debe ser un eje vertebrador a lo largo de la enseñanza de este área, tanto en la E.S.O. como en el Bachillerato.
Los problemas se presentan secuenciados por grado de dificultad y al final se dedica una sección a todos ellos, pero no mostrando la solución directamente; el alumno debe recurrir a la solución después de un buen número infructuoso de intentos.
Todos los teoremas, definiciones y problemas, vienen ilustrados mediante "applets" de Java; por ello necesitan para su ejecución de la Máquina Virtual de Java, estos se pueden manipular, deformando la figura, por lo que el alumno con estas herramientas puede intuir, conjeturar, inferir y obtener resultados, enriqueciendo su experiencia y aprendiendo a hacer matemáticas. Los "applets" están realizados con Geogebra, programa de geometría dinámica realizado por Markus Hohenwarter, que es GNU (libre distribución). El programa consta de tres zonas diferenciadas, la zona gráfica, la zona de álgebra y la barra de comandos. Cualquier instrucción se puede realizar desde cualquiera de ellas. He procurado realizar todos los "applets" desde la zona gráfica, con regla y compás.
Espero que las muchas horas dedicadas a la elaboración de estas páginas sirvan para que los profesores de la Región le perdamos el respeto que nos impone la geometría sintética y en particular la geometría del triángulo.

Objetivos.- Estos ya han sido puestos de manifiesto en el apartado anterior, pero voy a tratar de ser un poco más explícito.

Orientaciones didácticas.- Los programas de geometría dinámica en general han abierto un mundo de posibilidades en la enseñanza de la Geometría. Mediante estas aplicaciones los alumnos pueden manipular las figuras, deformarlas, y éstas mantienen las propiedades que las definen, lo que permite que el discente infiera, experimente, conjeture, descubra y en general mejore su capacidad para las matemáticas. Veamos algunos ejemplos de como proceder:

Sobre la base de un triángulo isósceles se eleva una perpendicular por un punto cualquiera P, esta recta cortará a los lados iguales en dos puntos M y N; probar que PM+PN es constante y hallar dicha constante.

Abrimos el programa y construimos el triángulo isósceles, dibujamos un punto sobre la base y trazamos los segmentos PN, y PM, podemos incluir una fórmula que nos confirma la veracidad de la aseveración que se pretende demostrar. Una vez que estamos convencidos de la certeza (comprobar), podemos desplazar el punto P y llevarlo al punto donde mejor se observa que la suma de los segmentos es constante (simplificar y sugerir); evidentemente nos referimos al punto medio de la base. En dicho punto ambos segmentos coinciden y su valor es el doble del segmento CH_c. Ahora sólo nos falta encontrar una demostración de este hecho.

Una vez que hemos encontrado una demostración del problema, podemos plantearnos si existirá alguna propiedad análoga para un triángulo cualquiera (generalizar).

Sobre la base de un triángulo se eleva una perpendicular por un punto cualquiera P, esta recta cortará a los otros dos lados en dos puntos M y N; probar que PM+PN es constante y hallar dicha constante

Podemos de nuevo abrir el applet anterior y redefinir el punto C, de forma que no se encuentre en la perpendicular al lado AB en su punto medio. El alumno tiende a comprobar que la suma de los segmentos PM + PN sigue siendo el doble de la altura, y al comprobar que no es cierto puede cundir el desanimo. La intervención del profesor en esto momentos es crucial, como dice Polya "un buen profesor debe comprender y hacer comprender a sus alumnos que ningún problema puede considerarse completamente terminado. Siempre queda algo por hacer". Hemos de revisar la construcción, la altura no sirve, ¿qué puede servir? Es conveniente realizar preguntas al alumnado, hasta que se de cuenta de que el triángulo es isósceles y que en estos triángulos la altura, la bisectriz y la mediana coinciden. Una vez que hemos llegado a este punto, sólo falta repetir la construcción con cada uno de estos elementos, y el doble de la mediana es el valor constante buscado y volvemos a comenzar.

Otra de las posibilidades es resolver problemas de máximos y mínimos. En estos problemas es fácil obtener la posible solución, es suficiente indicar las condiciones, escribir una fórmula que nos "mida" lo que hay que optimizar, mover el punto y observar donde se alcanza el extremo; una vez que conocemos que condiciones deben darse es más fácil resolver el problema, veamos unos ejemplos:

OME 1971/1972 Problema 2.- Un punto se mueve sobre los lados del triángulo ABC, definido por los vértices A(-1.8,0), B(3.2,0), C(0,2.4). Determina las posiciones de dicho punto, en las que la suma de su distancia a los tres vértices es máxima o mínima absoluta. Solución

Una generalización del problema puede ser:

Encuentra sobre el lado AB de un triángulo, un punto tal que, la suma de distancias a los otros dos lados sea mínima/máxima. Solución

Y otra, es el conocido problema que Fermat propuso a Torricelli, y que resolvió este último así como Cavalieri y Viviani. Encontrar un punto tal que la suma de las distancias a los tres vértices de un triángulo sea mínimo. La solución que presenta F.G.-M en su libro Exercices de Géométrie, sexta edición, París, 1920, es un claro ejemplo de lo indicado anteriormente.

Supuesto el problema resuelto, el mínimo se encontrará en un punto O, tal que OA+OB+OC= mínimo. Considera fijo OA, que se encontrará en una circunferencia de radio OA y busca en dicha circunferencia el punto O que hacen mínima la suma OA+OB, este se encuentra cuando los ángulos OA y OB son iguales con respecto al radio OA. Repite el razonamiento para B y C, obteniendo que el mínimo O es el punto desde el que se ven los lados bajo ángulos iguales. Solución

Problemas como éste son relativamente fáciles de tratar con nuestro manipulador, pero encontrar una prueba puede ser arduo para nuestros alumnos y esta no debe ser una obsesión para nosotros (el gran Fermat no fue capaz de encontrar la solución) y una buena aproximación a veces puede ser suficiente para que los alumnos razonen, induzcan y descubran por sí mismos.

Otro tipo de problemas que resultan triviales de visualizar con nuestro programa, es el de hallar lugares geométricos.

Desde el vértice de un triángulo isósceles BAC, se traza una circunferencia cualquiera, y desde B y C se trazan las tangentes a la circunferencia variable de centro A, ¿cuál es el lugar geométrico de los puntos de corte de las tangentes? Solución.

También la utilización de lugares geométricos nos ayuda en la resolución de problemas.

Vamos a utilizar un ejemplo del libro de Polya.

Inscribir un cuadrado en un triángulo dado tal que dos vértices del cuadrado debe hallarse sobre la base del triángulo y los otros dos vértices del cuadrado sobre cada uno de los otros dos lados del triángulo respectivamente. Solución.

Algunas de los teoremas que aparecen en las últimas secciones, aunque la demostración es sencilla, requieren de un cierto grado de destreza que puede ser excesivo para alumnos de E.S.O., no por ello hemos de evitarlos. Podemos introducirlos y tan sólo verificarlos con la aplicación, por ejemplo, para el Teorema de Ceva, podemos diseñar una actividad donde los alumnos observen que las áreas de triángulos con la misma base son proporcionales a las alturas y que vayan calculando estas razones en un triángulo donde se den tres cevianas concurrentes y comprobar el teorema (podemos comenzar por las medianas, y para el teorema de Ceva en versión trigonométrica es muy adecuado el ejemplo de las bisectrices que aparece como corolario en la sección correspondiente).
También es difícil probar que el baricentro, el circuncentro y el ortocentro están alineados, pero ya en los primeros applet, se intuye que estos tres puntos se encuentran sobre una misma recta, el dibujar la recta que pasa por dos de estos tres puntos y comprobar que contiene al tercero puede ser más que suficiente para que los alumnos más jóvenes infieran esta propiedad, y que sean capaces de descubrirla aún sin demostración es un verdadero logro.

Como dice Sánchez-Rubio "las relaciones basadas en la medida, la forma, y la proporción son fundamentales y aportan elementos clave para la compresión y resolución de problemas o simplemente muestran situaciones de gran riqueza geométrica".

Bibliografía

F.G.-M., Exercices de Géométrie, Jacques Gabay, Paris 1920. Reimpresión de la edición de 1920

Rouche - Camberouse.Traité géométrie élémentaire, Gauthier - Villars, Paris 1899.

Catalan E., Théorèmes et Problemas de Géométrie élémantaire, Victor Dalmot, París 1858.

Bruño, Geometría curso superior, Bruño, Madrid 1944.

Puig Adam. P, Geometría métrica, Biblioteca Matemática, Madrid 1972.

Sánchez-Rubio - Ripollés Amela, Manual de matemáticas para preparación olímpica, Ed. Universitat Jaume I 2000.

Polya G., Cómo plantear y resolver problemas, Ed. Trillas 1981.

Yiu. P., Introduction to the Geometry of the Triangle, Department of Mathematica Florida Atlantic University 2002.

Yiu. P., A Tour of Triangle Geometry, Department of Mathematica Florida Atlantic University.

Revista Escolar de la Olimpíada Iberoamericana de Matemática.

http://mathworld.wolfram.com/Triangle.html

Durán D., "Didascalia Geométrica", Barquisimeto, 2003

CD ROM de la Olimpiada Matemática Española, RSME 2004.

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Portada. Conceptos. Cicuncentro. Ortocentro. Incentro. Baricentro. Semejanza. Teorema de Pitágoras. Teorema del seno.
Teorema de la altura.
Teorema del coseno. Área. Recta de Euler. Círculo de los nueve puntos. Teorema de Ceva.
Teorema de Menelao
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Teorema de Stewart. Problemas