La circunferencia de los nueve puntos

Definición.- Los segmentos que unen los vértices de un triángulo con el ortocentro se denominan segmentos de Euler, y sus puntos medios se llaman puntos de Euler y el triángulo que determinan estos puntos se llama triángulo de Euler

Definición.- El triángulo cuyos vértices son los puntos medios del triángulo ABC, se denomina triángulo medial

Teorema.- El triángulo de Euler de un triángulo y su triángulo medial son congruentes

  Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Los puntos Mb y Mc son los puntos medios de los lados AC y AB respectivamente, por tanto MbMces paralelo al lado BC y mide su mitad.
Por otra parte los puntos D y E son los puntos medios del triángulo HBC, y por ello, DE es paralelo a BC y mide la mitad de BC. Por ende DE y MbMc son paralelos y miden lo mismo.
Análogamente los demás lados, y los triángulos DEF y MaMbMc tienen los lados paralelos e iguales.

Problema.- Demuestra que el circuncentro de un triángulo es el ortocentro de su triángulo medial. Solución

Los puntos Mb,Mc, D y E forman un rectángulo.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Sabemos que McDEMb es un paralelogramo, por ser DE y MbMc paralelas medias de un triángulo, además McD es paralelo a AH, que a su vez es perpendicular al lado BC, por tanto, McD y DE son perpendiculares.

Por la misma razón FMcMaE es un rectángulo

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

 

Y podemos observar que la diagonales de ambos rectángulos se cortan en N, su punto medio. Por tanto la circunferencia que tiene a las diagonales por diámetros pasará por los vértices de los dos rectángulos. Además podemos observar que el triángulo FHaMa es rectángulo y su hipotenusa es una de las diagonales citadas, luego la circunferencia pasará por el pie de la altura y análogamente pasará por los pies de las otras alturas. En definitiva dicha circunferencia pasa por nueve puntos, los pies de las alturas los puntos medios y los puntos de Euler. A esta circunferencia se le denomina de los nueve puntos.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Página anterior
Página siguiente

Portada. Introducción. Conceptos. Cicuncentro. Ortocentro. Incentro. Baricentro. Semejanza. Teorema de Pitágoras.
Teorema de Pitágoras. Teorema del seno. Teorema de la altura. Teorema del coseno. Área. Recta de Euler.
Teorema de Ceva. Teorema de Menelao.
Teorema de Stewart. Problemas