Área de un triángulo

Todo triángulo es equivalente a un paralelogramo de igual base y mitad de altura. Observa el dibujo y mueve los puntos.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

A partir de la figura serías capaz de obtener la conocida fórmula: "el área de un triángulo es 1/2 base . altura". O bien es la mitad de un paralelogramo de igual base e igual altura.

Dado un triángulo ABC, notaremos su área por [ABC].

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Problema.- La base de un rectángulo ABCD es 8 cm y su altura es 3 cm. Dividimos la diagonal AC en tres partes iguales mediante los puntos E y F. ¿Cuánto vale el área del triángulo BEF? Solución

Problema .- Dado un polígono de siete lados obtener un triángulo equivalente (de la misma área).

Solución.

Teorema.- El área de un triángulo es independiente del lado y la altura elegidos

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Los triángulos BHbA y CHcA son semejantes, pues son triángulos rectángulos y los ángulo ABHb y ACHc valen 90º-A.

Por tanto, c/hb = b/hc, es decir, c hc = b hb.

Problema OM"El Bohio"IV_6.- Dado un triángulo cualquiera ABC, trazamos sus tres medianas, dividiendo el triángulo en seis triángulos. Demostrar que los seis tienen el mismo área. Solución.

Vamos a a estudiar otras fórmulas para hallar el área del triángulo.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Problema Puig Adam VI,1988.- Demostrar que si un triángulo de área S el producto de sus medianas vale 3/2 S, entonces dichas medianas son perpendiculares. Solución.

 

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Problema.- Un triángulo tiene por lados AB = BC = 50 y el lado AC, vale 60, halla el radio de la circunferencia circunscrita. Solución.

Problema Puig Adam 1991.- Sea un triángulo ABC tal que a > b y a+ha £ b+hb. Calcula el valor de c. Solución.

Diremos que un triángulo es multiplicativo si el producto de las longitudes de dos de sus lados es igual a la longitud del tercer lado.

OME 2005 Problema 3.- Sea ABC...XYZ un polígono regular de n lados con todos sus lados de longitud 1. Las n – 3 diagonales que salen del vértice A dividen al triángulo ZAB en n – 2 triángulos más pequeños. Probar que cada uno de esos triángulos es multiplicativo. Solución.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)


Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Problema .- En el triángulo ABC, sea AD la mediana. Prueba que si los radios de los círculos inscritos en ABD y ACD son iguales, entonces AB = AC. Solución.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Observando la figura vemos que el área del triángulo ABC, será:

Área (A,B,C) = área(A,C,Ia)+ área(A,B,Ia) - área(B,C,Ia), es decir,

Área (ABC)= 1/2 c ra + 1/2 b ra- 1/2 a ra = 1/2 (b + c - a) ra = (p - a) ra

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

 

Sabemos que área(A,B,C) = T= p r = (p-a) ra Þ T2 = p (p-a) r ra ,observando la figura observamos que, los triángulos FOC y ECM son semejantes, y por tanto r ra = CM CO = (p-b) (p-c). Sustituyendo se obtiene la conocida fórmula de Herón:

T = Ö p(p-a)(p-b)(p-c)

OME 1979/1980 Problema 8.- Determinar todos los triángulos tales que las longitudes de los tres lados y su área estén dados por cuatro números naturales consecutivos. Solución.

Resumiendo

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

 

Volver a página anterior
Ir a la siguiente página

Portada. Introducción. Conceptos. Cicuncentro. Ortocentro. Incentro. Baricentro. Semejanza. Teorema de Pitágoras
Teorema del seno
. Teorema de la altura. Teorema del coseno. Recta de Euler. Círculo de los nueve puntos.
Teorema de Ceva
. Teorema de Menelao.
Teorema de Stewart. Problemas