Las funciones están presentes en todo lo que nos rodea, incluso en nuestro organismo, por ejemplo las pulsaciones nos indican lo rápido que late nuestro corazón.
El número de pulsaciones depende de varios factores, entre ellos la edad, si estas en reposo o haciendo ejercicio, también depende de la constitución y de la condición física, etc.
La velocidad de la marcha en bicicleta depende del terreno y de como pedalees, la distancia que recorres depende de la velocidad y del tiempo empleado.
El salario de los trabajadores depende de las horas trabajadas, de la cualificación,.....

El valor de una vivienda, depende de su situación, metros cuadrados, calidad de la construcción, etc.
El texto que estas leyendo depende de la resolución aplicada en tu monitor.

Veamos algunos ejemplos más concretos.

  • El área de un triángulo es S = [(b·h)/2], observemos que el área depende de dos variables independientes la base y la altura. El área diremos que es la variable dependiente y la base y la altura son las variables independientes.
  • El área de un triángulo equilátero es S = [(a2 Ö3)/4], ahora el área depende únicamente de una variable el lado a.
  • El espacio recorrido por un vehículo depende de la velocidad y del tiempo.
    e=v·t
    en este caso la velocidad v y el tiempo t son las variables independientes y el espacio e es la variable dependiente.
  • La clasificación de la 1ª división de fútbol depende de los resultados obtenidos, es decir, de los partidos ganados y empatados. La posición es la variable dependiente y los resultados anteriores la variable independiente.
  • También una función puede venir dada por una gráfica


 

Correspondencia

Sean A y B dos conjuntos, se define una correspondencia como un subconjunto del producto cartesiano A×B.

Ejemplo.- Sea A={1,2} y B={a,e,i,o,u} el producto cartesiano es el conjunto

A×B={(1,a),(2,a),(1,e),(2,e),(1,i),(2,i),(1,o),(2,o),(1,u),(2,u)} y un subconjunto puede ser C={(1,a),(1,e),(2,i),(2,u),(2,o)}, que esta definido por extensión (dando todos los elementos del conjunto) y se podría haber definido por comprensión (dando una propiedad que sólo verifican los elementos del conjunto) C es la correspondencia que asocia al 1 las vocales fuertes y al 2 las débiles. En la correspondencia C se dicen que los elementos 1 y a son homólogos, al igual que 1 y e, etc.

Una aplicación es una correspondencia donde a todo elemento del primer conjunto le corresponde un único elemento del segundo conjunto.

Observando el ejemplo anterior podemos deducir que C no es una aplicación, observemos que al 1 le corresponde más de un elemento del segundo conjunto.

Ejemplo.- Sea X={(1,a), (2,a)} un subconjunto de A×B dados en el ejemplo anterior. Veamos que X es una aplicación.
Todos los elementos de A tienen homólogo.

A cada elemento de A le corresponde un único elemento de B.

OBSERVACIÓN.- Que a cada elemento de X le corresponda un único elemento no quiere decir que este sea el mismo como ocurre en el ejemplo anterior.

Ejemplo.- Sea Y = {(1,a),(2,u)}. A cada elemento del primer conjunto le corresponde un único elemento del segundo conjunto, al 1 le corresponde la a y al 2 le corresponde la u.

Ejercicio.- Observa la figura siguente, mueve el punto E, consideramos la correspondencia que asigna a cada punto del diámetro de la circunferencia los puntos Fy G, ¿es aplicación? Razona la respuesta.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Ejemplo.- Consideramos el conjunto A formado por {Carlos, Paco, Javi, Elena} sabemos que Carlos tiene 17 años y pesa 71 kg., Paco tiene 16 años y pesa 61 kg, Javi tiene 18 años y pesa 81 kg y por último Elena tiene 15 años y pesa 51 kg. Si a cada elemento del conjunto A se le hace corresponder su edad, ¿será aplicación la correspondencia así definida? Dibuja una gráfica que represente dicha correspondencia.

Carrera de F1.- Indica como varía la velocidad cuando recorre cada uno de los circuitos


Responde razonadamente a las siguientes cuestiones:

  • ¿Qué curva es más peligrosa?
  • ¿Cuál es la recta más larga del circuito?
  • ¿El coche empieza la segunda, tercera vuelta,... con la misma velocidad que la primera?
Si los conjuntos A y B son numéricos a la aplicación se le denomina función, y se suele notar de la siguiente forma:

f : x Î D ® f(x) = y Î R

a D se le llama dominio de la función, a x se le denomina variable independiente y a y variable dependiente. Al conjunto de elementos homólogos de elementos de D se le denomina recorrido.
Se llama gráfica de f al conjunto de puntos del plano definido por G(f)={(x,y)Î R2 / y = f(x)}.

Dominio

No existe regla general para calcular el dominio de una función, pero podemos hacer las siguientes consideraciones:

  • Función polinómica.- El dominio de cualquier función polinómica son todos los números reales.
  • Funciones racionales.- Una función racional es un cociente de polinomios f(x)=(P(x))/(Q(x)) el dominio es el conjunto de números reales que no anulan el denominador D={x Î R/ Q(x) ¹ 0 }.
  • Funciones irracionales.- Una función irracional son las de la forma f(x)= distinguimos dos casos
    • n es impar el dominio de f coincide con el dominio de g(x).
    • n es par, entonces el dominio de f es D={x Î R/ g(x) ³ 0}
  • Función exponencial.- Dada f(x)=ag(x) con a > 0 el dominio de f coincide con el dominio de g
  • Función logarítmica.- El dominio de la función f(x)=log(g(x)) es D={x Î R/ g(x) > 0}
Ejemplo 1 Halla el dominio de la función f(x)=x2+3x-1
La función es polinómica y su dominio es R
Ejemplo 2 Halla el dominio de la función f(x)=1/(x-1). Solución.
Ejemplo 3 Halla el dominio de la función f(x)=(x)/(x2-4). Solución.
Ejemplo 4 Halla el dominio de la función h(x)=Ö{x2-1}. Solución.
Ejemplo 5 Halla el dominio de la función f(x)=(x-1)/(Ö{4-x2}). Solución.

Simetrías

Una función es par si verifica:

  1. "x Î R Þ -x Î R
  2. f(-x)=f(x)
Ejemplo 6 f(x) = x2
Una función es impar si verifica:
  1. "x Î R Þ -x Î R
  2. f(-x)=-f(x)
Ejemplo 7 f(x) = x3

Ejemplo 8.- Observa la función del siguiente applet, mueve el punto A e indica si la función es par o impar. ¿Es simétrica? En caso afirmativo indica que tipo de simetría presenta. Completa la siguiente tabla:

x
2
-2
3
-3
4
f(x)

 

  Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Ejercicio Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now) e introduce en la barra de comandos la expresión f(x)= x/(x2+1), y responde a las siguientes preguntas:

  1. ¿Cuánto vale f(1), f(-1), f(2), f(-2)?
  2. La función es par o impar.
  3. A la vista de la gráfica ¿cuál es su dominio?
  4. Dibuja un punto sobre la gráfica y estudia que tipo de simetría presenta. ¿Para obtener el simétrico de un punto que comando tienes que utilizar?

Periodicidad

Ejercicio.- Observa la gráfica de las siguientes funciones. Mueve los puntos A y B

¿Qué ocurre con los valores de dichas funciones?

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Ejercicio.- Dada la función f(x) dada por la gráfica siguiente y sabiendo que es periódica, dibuja la función en tu cuaderno.

Definición.- Una función es periódica, de periodo T, si f(x)=f(x+T) y además si x Î D Þ x+T Î D, donde D es el dominio de f .

Ejercicio.- Halla el periodo de la siguiente función, f(x) = mantisa (x)= x- E(x), (donde E(x) es la parte entera de x, es decir, el mayor entero menor o igual que x, por ejemplo si x=2,354, E(2,354)=2 y la mantisa(2,354)=0,354).

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Crecimiento y decrecimiento

Una función

f : x Î D ® f(x) = y Î R

diremos que es creciente en D si mantine las desigualdeades, es decir, si verifica, para todo x, z de D:

 

Caracterización de las funciones crecientes:

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Ejemplo.- Estudia si la función f(x)=x2 es ceciente en le intervalo (1,5). Solución.

Una función diremos que es decrececiente si invierte las desigualdades, es decir:

Y se caracterizan por:

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Ejemplo.- Prueba que la función f(x)= 1/(x2+1) es decreciente en el intervalo (1,5). Solución.

Extremos relativos

Dada una función

f : x Î D ® f(x) = y Î R

diremos que presenta un extremo relativo en un punto a del dominio D, si existe un intervalo I incluido en R, tal que para todo x de dicho intervalo se verifica:

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Diremos que a es un mínimo si análogamente se verifica:

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Ejemplo.-

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Operaciones con funciones

  • Suma, diferencia y producto de funciones. Dadas dos funciones f y g se define la suma, la diferencia y el producto, como la suma y el producto de sus imagenes, es decir:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(f - g)(x) = f(x) - g(x)

(f . g)(x) = f(x) . g(x)

El dominio de cada una de estas nuevas funciones es la intersección de los dominios respectivos.

  • Cociente de funciones. Dadas las funciones anteriores, se define f/g como:

(f/g)(x)=f(x)/g(x)

Su dominio será el conjunto intersección del dominio de f con el conjunto de puntos del dominio de g que no se anulan.

  • Composición de funciones. Dadas las funciones f y g tales que la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define:

g * f(x) = g(f(x))

Ejemplo.-

Solución.