PARÁBOLA

La parábola es el lugar geométrico de puntos P, tales que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta denominada directriz.

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Elementos de la parábola

El punto fijo F se denomina foco y a la recta directriz.
Si P es un punto de la recta el segmento PF se denomina radio vector.
A la distancia del foco a la directriz se le llama parámetro.
A la recta perpendicular a la directriz por el foco, se denomina eje de la parábola y a la intersección de esta con la curva vértice.

Ejercicio.- Halla el lugar geométrico de puntos que equidistan de la recta y = -2 y del punto P(0,2)

Ecuación reducida de la parábola

Para obtener la ecuación reducida de la hipérbola hemos de tomar como ejes el eje de la parábola y su perpendicular por el vértice.

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Propiedad focal de la parábola

Una propiedad muy importante de la parábola, conocida por Apolonio y que Arquimedes utilizó en el 212 a.C. para crear con ella artificios para prender fuego a los barcos desde lejos (Boyer), es la propiedad de reflexión.

Una superficie se dice reflectante si la recta tangente en cualquier punto forma ángulos iguales con cada rayo incidente y el correspondiente rayo reflejado, llamados respectivamente de ángulo de incidencia y de reflexión. El ejemplo más simple de superficie reflectante es un espejo.Otro ejemplo sería el foco de un coche, este se obtiene girando una parábola alrededor de su eje. Otro ejemplo sería el de una antena parabólica, o un telescópio, las emisiones de luz de una estrella lejana se acercan a la tierra como rayos paralelos, situando el eje del refelctor parabólico paralelo a dichos rayos, estos se reflejan en el foco de la superficie parabólica. Reciprocamente todos los rayos que emanan de la bombilla (situada en el foco) del reflector parabólico son paralelos.

Si tomamos un punto cualquiera de la parábola, la recta tangente en ese punto forma ángulos iguales con:

  • La recta que pasa por el punto y el foco.
  • La recta que pasa por el punto y es paralela al eje de la parábola.
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Actividad 1.- Abre el programa Geogebra, dibuja una parábola y un punto exterior.
Traza las tangentes a la parábola por el punto extrior.
Comprueba que estas tangentes forman ángulos iguales con la recta que une el punto exterior con el foco y con la recta paralela al eje por el punto exterior.
Y la recta que une el punto exterior con el foco es bisectriz de los ángulos formados por los radios vectores de los puntos de contacto. Solución.

Actividad 2 .- Comprueba que las tangentes a una parábola trazadas desde un punto de la directriz son perpendiculares. Y que los puntos de contacto y el foco están alineados. Solución.

Actividad 3.- Comprueba que la suma de los segmentos de una cuerda trazada por el foco de una parábola es una cantidad constante. Solución.

 

 

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