ELIPSE
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La elipse es el lugar geométrico de puntos del plano, cuya suma de distancias a dos puntos fijos (los focos F y F') es constante (2a) Mueve el punto G, y observa el lugar geométrico descrito por P y P'. Observa que la suma FP+F' P es constantemente igual a DE(=2a, puedes modificar esta longitud moviendo D o E). |
Actividad 1.- Abre el programa Geogebra (puedes hacer doble clic en el interior del cuadro azul para que se abra)
dibuja una elipse, para ello:
- Dibuja cinco puntos.
- Traza la cónica que pasa por dichos puntos.
- Mueve los puntos hasta que la cónica sea una elipse, observa la ecuación en la ventana de la izquierda.
- Introduce varios parámetros y escribe una ecuación similar a la obtenida en el apartado anterior.
- Modifica los parámetros, haz clic sobre uno de ellos y en modo Desplazamiento mueve las teclas-flecha. Observa como se modifica la cónica.
- Dibuja la cónica 4 x2 + 25 y2 = 100.
- Calcula los ejes y el centro. Ve a la línea de comandos, elige Ejes y teclea el nombre de los ejes, después elige Intersección el punto que se obtiene es el Centro.
- Dibuja un punto sobre la cónica, y halla el simétrico respecto al centro y los ejes (recuerda que el comando se denomina Reflejo). Desplaza el punto, observa.
- Describe en tu cuaderno como son las elipses, que ecuación
tienen, que son los ejes y el centro, indica los elementos de simétria
que tiene.
Solución
Actividad 2.- Situate en Geogebra:
- Dibuja una elipse, interseca la elipse con los ejes, los puntos de corte se denominan Vértices, los segmentos que unen los vértices con el centro, se llaman semiejes, semieje mayor y menor.
- Ve a la línea de comandos y elige Foco e introduce el nombre de la elipse.
- Observa que el vértice del eje menor, el centro y un foco, forman un triángulo rectángulo ¿Cuánto vale la hipotenusa?
- Compara el valor de la hipotenusa obtenida anteriormente con el valor
del eje mayor.
Solución
Problema.- Construir un triángulo, conociendo la base FF', la altura h correspondiente y la suma de los otros dos lados 2a. Solución
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El lugar geométrico de puntos de un plano que equidista de una circunferencia c y de un punto fijo F interior se llama elipse. |
Desplaza el punto auxiliar B, y observa el trazo.
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Sea P un punto del lugar, es decir, P equidista de F y de la circunferencia c. F'P+FP = F'P+PB = F'B que es el radio de la circunferencia c, constante.
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Evidentemente esta propiedad se puede utilizar para definir la elipse, y a partir de ella obtener como propiedad la definición dada anteriormente, cuando esto sucede, se dicen que las proposiciones son equivalentes.
La circunferencia focal.- Sea la elipse de focos F, F' y sea el eje 2a, si trazamos una circunferencia con centro en F' y radio 2a, obtenemos la circunferencia focal (también se le llama circunferencia directriz).
Tiene la siguiente propiedad:
Si por un punto P de la elipse prolongamos el radio vector PF' una longitud igual a PF, obtendremos un punto Q, que dista de F' 2a, por tanto, Q describe una circunferencia, la circunferencia focal.
Si trazamos una circunferencia con centro en P y que pase por el foco F, esta circunferencia será tangente a la circunferencia focal y resulta:
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Una elipse es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a una fija y que pasan por un punto fijo interior a la circunferencia. |
Relación entre los ejes. Excentricidad.
La distancia de B a los focos es a, ya que BF = BF', y llamando c
a la distancia del foco al centro, tendremos que a,b,c es una terna pitagórica,
es decir, a2=b2+c2, que relaciona la
distancia focal con los ejes.
A la razón c/a = e, existente entre la distancia focal y el eje
mayor, se le llama excentricidad. La excentricidad de la elipse
es un número comprendido entre cero y uno.
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Mueve los deslizadores a, b y observa como varia la elipse y su excentricidad. ¿Qué resulta cuando e=0? ¿Y si e vale 1? La excentridad de la órbita terrestre es de 0.097 representala. |
Expresión de los radios vectores
Consideramos unos ejes cartesianos rectángulares coincidentes con los ejes de la elipse. Sea a el semieje mayor, c la semidistancia focal y e la excentricidad de la elipse.
Los dos radios vectores son los lados de un triángulo PFF'. Si aplicamos el teorema del coseno a cada uno de los triángulos, obtenemos:
PF2=OP2 + OF2 - 2 OP
OF cos(POF)
PF'2=OP2 + OF'2 - 2 OP OF' cos(180º-POF
) =OP2 + OF'2 +2 OP OF' cos(POF )
Pero al ser PF = PF' = c, y OP cos(POF) = x = abcisa del punto P; restando miembro a miembro, tendremos:
PF'2 - PF2 = 4 c x
como PF + PF' = 2a, obtenemos:
PF'2-PF2 = (PF'-PF)(PF'+PF) =
=(PF' - PF) 2a = 4 c x ÞPF' - PF = 2cx/a =2 e x
Resolviendo el sistema se obtiene:
PF' = a + e x
PF = a - e x
Posición de un punto respecto a una elipse
Un punto puede ocupar tres posiciones respecto a la elipse, interior exterior o estar sobre ella.
Actividad 3.-
- Situate en GeoGebra, dibuja una elipse y un punto cualquiera del plano.
- Dibuja los ejes, los focos y el centro. Calcula la excentricidad. Traza los semiejes.
- Dibuja los segmentos que unen el punto con los focos y sumalos, haz
que el punto sea exterior, interior o este sobre la elipse. ¿Qué
se observa?
Solución
Ecuación reducida de la elipse
Veamos que la ecuación general de una elipse a x2 + bx y +c y2+ d x+ e y+f = 0, la podemos reducir a la forma canónica Ax2+By2=1, mediante una traslación de ejes y un giro.
- En primer lugar, hacemos una traslación de forma que el Centro de la elipse coincida con el eje de coordenadas, con ello conseguimos que los términos en x e y desaparezcan.
- Realizamos un giro tal que los ejes de la conica coincidan con los ejes de coordenadas.
Ecuación cartesiana de la elipse
Hemos visto que:
PF2 = (c-x)2 + y2 =
(a - e x)2
c2 +x2 - 2 x c + y 2 = a2 +
e2 x2 - 2 a c/ax = a2 + (c/a)2
x2 - 2 c x
c2 +x2 + y 2 = a2 + c2
/a2 x2
x2 - c2 /a2 x2 + y2
=a2- c2
b2 x2/a2 + y2=b2
x2/a2 + y2/b2 = 1
La elipse como proyección de una circunferencia
Trazamos una circunferencia de radio a, que se llama círculo principal de la elipse. Si yc es la ordenada de la circunferencia en el punto D y notamos por ye la ordenada de la elipse correpondiente a la misma abcisa.
y2e = b2/a2
(a2-x2)
y2c = (a2-x2)
y2e = b2/a2 y2c
de donde:
ye/yc = b/a = (2b/2a)
Tendremos que la ordenada del círculo a la de la elipse
es igual a la que existe entre las longitudes del eje mayor al menor,
es decir, a/b.
Problema.- Explica un método geométrico para obtener la tangente por un punto de la elipse. Solución 1 Solución 2
Problema .- En una elipse, cúal es la distancia del centro a una cuerda MN paralela al eje mayor AA' y de longitud el semieje. Solución
Propiedad focal de la elipse
Diámetros
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El lugar geométrico de los puntos que bisecan cuerdas paralelas se llama diámetro. |
Veamos quienes son los diámetros de la elipse (evidentemente los diámetros de la circunferencia son las cuerdas que pasan por el centro), como la elipse se obtiene como proyección de la circunferencia ¿serán también sus diámetros cuerdas pasando por el centro?
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Sea HI una cuerda cualquiera que por comodidad la tomamos pasando por el centro, y consideramos todas las cuerdas paralelas a HI, sean estas JK. Obtenemos su punto medio y activamos el trazo, este nos dará el diámetro. Para obtenerlo sólo tenemos que mover el punto J.
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Consideramos la circunferencia principal de la elipse, y en ella una serie de cuerdas paralelas, sus puntos medios se encuentran sobre el mismo diámetro, y este diámetro se proyecta sobre una cuerda que pasa por el centro de la elipse y reciprocamente. Por tanto los diámetros de la elipse son las cuerdas que pasan por el centro.
Dos diámetros se dicen conjugados si cada uno de ellos biseca las cuerdas paralelas del otro.
Problema.- Halla los diámetros conjugados de la elipse. Solución .
Problema.- El paralelogramo determinado por las tangentes en los extremos de dos diámetros conjugados tiene área constante. Solución
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