Potencia de un punto con respecto a una circunferencia

Actividad 3.- Abre el programa Geogebra, dibuja una circunferencia cualquiera c y un punto P exterior, por este punto traza una recta secante, calcula los puntos de corte.
Traza los vectores que determinan P y los puntos de corte, a continuación calcula su producto. (Para ello te recuerdo que tienes que pinchar en ABC y escribir "b d=" + (b d) + "", si b y d son los vectores* que unen a P con los puntos de intersección; también puedes introducir en la línea de comandos p=b d)
Mueve la recta y observa que ocurre con el producto, anotalo en el cuaderno.
Mueve ahora el punto P, ¿qué ocurre?. Mueve de nuevo la recta y observa el producto.
Cambia la circunferencia y vuelve a anotar lo que sucede.
Desplaza el punto P al interior de la circunferencia y repite el proceso.
¿Qué ocurre si la recta es tangente?
Ver actividad 3

Con la actividad anterior hemos observado que la potencia de un punto con respecto a una circunferencia es inpendiente de la recta que utilicemos, veamos una demostración de este hecho:

  • Punto exterior
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  • Punto interior:
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*Utilizamos vectores en lugar de segmentos para obtener un producto negativo si el punto es interior a la circunferencia. Hemos de observar que los segmentos son no orientados en Geogebra.

Ecuación análitica

Para obtener la ecuación de la potencia de un punto P(a,b) respecto de una circunferencia (x-c1)2+(y-c1)2=r2, podemos utilizar una recta cualquiera, la más sencilla es la que pasa por el centro de la circunferencia.

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Si el punto es exterior podemos encontrar una forma más sencilla de obtener la fórmula

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Ejercicio 5.- Nos indican que los puntos P, Q y R tienen de potencia con respecto a la circunferencia c, 1,0, -1. ¿Podríamos saber con estos datos cuál es la posición de estos puntos con respecto a la circunferencia? Justifica la respuesta.

Ejercicio 6.- Halla la potencia del punto P(-1,1) con respecto a la circunferencia x2+y2=1. ¿qué posición ocupa P con respecto a la circunferencia?

Eje radical de dos circunferencias

Definición.- Se llama eje radical de dos circunferencias al lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencia con respecto a ambas circunferencias.

Sean las circunerencias C de centro O y radio r y C' de centro O' y radio R, un punto P tendrá igual potencia respecto de C y C' si:

PC2-r2=PC'2-R2

PC2-PC'2=r2-R2=cte.

El lugar geométrico de puntos cuya diferencia de cuadrados de distancias a los puntos C y C' es constante es una recta perpendicular a la recta que une los puntos C y C'.

  1. Si las circunferencias son secantes, los puntos de corte tienen potencia nula con respecto a ambas circunferencias y el eje radical será la recta que pasa por esos dos puntos.
  2. Si las circunferencias son tangentes, el eje radical será la tangente común.
  3. Si las circunferencias son no secantes, se traza una circunferencia cualquiera secante a ambas circunferencias, calculamos el eje radical de cada una de las circunferencias que se cortan y estos ejes se cortarán en un punto que tiene igual potencia respecto de las tres circunferenciasrectas, es decir, será un punto del eje radical buscado. y el eje radical será la perpendicular por este punto a la línea uqe une los centros de las dos circunferencias dadas.
    Si las circunferencias son exteriores podemos trazar una tangente común y el punto medio será del eje radical, trazando la perpendicular a la línea que une los centros por este punto obtendremos el eje radical.

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Problema .- Halla la ecuación de una circunferencia que sea tangente a tres rectas. Solución

Centro radical de tres circunferencias

Definición.- Se llama centro radical de tres circunferencias al punto que tiene igual potencia con respecto a las circunferencias.

Este punto será el punto de intersección de los ejes radicales de las circunferncias tomadas dos a dos.

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