Eje radical (1)


 

Los puntos A y B tienen ambos la misma potencia, ¿por qué?, con respecto a las dos circunferencias. Sea P un punto cualquiera de la recta AB, la potencia de P con respecto a C1 es d(O,P)2- R2, y con respecto a C2 es: d(O*,P)2- r2.
Observemos que:
d(O,P)=PM2+OM2
y
R2=AM2+OM2
Þ
d(O,P)2- R2=PM2-AM2
d(O*,P)=PM2+O*M2
y
r2=AM2+O*M2
Þ
d(O*,P)2- r2=PM2-AM2

Y P tiene la misma potencia con respecto a las dos circunferencias.

Hemos supuesto que la recta que une los puntos de intersección y la recta que une los centros son perpendiculares, efectivamente así es, puesto que O equidista (el radio) de A y B y por tanto pertenece a la mediatriz del segmento AB, al igual que O*, y la mediatriz es perpendicular al segmento AB.

Supongamos que las dos circunferencias, no se cortan, para obtener el eje radical, basta trazar una circunferencia cualquiera que corte a las dos dadas, y hallar la intersección de los ejes radicales de C1 C y de C2 C