Cuadrilátero inscriptible
Un cuadrilátero se dice inscrito (cíclico) en una circunferencia si todos sus vértices están sobre ella.
La condición necesaria y suficiente es que sus ángulos opuestos sean suplementarios.

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Ejercicio 5 .- En la figura se tiene que AEFB, BFGC, CGHD y DHEA son cuadriláteros cíclicos. Demuestre que ABCD es cíclico sí y sólo sí EFGH es cíclico. Solución

Ejercicio 6.- Los puntos simétricos del ortocentro con relación a los lados de un triángulo están sobre la circunferencia circunscrita a este triángulo. Solución

Teorema de Ptolomeo.- La condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero sea inscriptible y convexo es que el producto de sus diagonales sea igual a la suma de los productos de los lados opuestos.

Demostración:

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Construimos el triángulo ABH semejante al triángulo BCD, de forma que la diagonal BD se corresponda con el lado AB y los ángulos marcados en azul y verde sean iguales. Así tendremos que:

a/e=AH/c=HB/b, de donde, a c = e AH (1)

Además, los triángulos ABD y BHC, tienen un ángulo común (el que tiene por vértice B) y sus lados adyacentes son proporcionales a/e=HB/b, por lo tanto:

HC/d = b/e, es decir, d b = HC e (2).

Sumando (1) y (2) tendremos, a c + d b = e (AH+HC)³e f. Relación que es válida para cualquier cuadrilátero.

Se da la igualdad Û A, H y C estan alineados Û los ángulos BAH = BAC = BDC ÛABCD es inscriptible ya que los puntos A y D están en el mismo arco capaz de un mismo ángulo para el segmento BC.

Ejercicio 8 .- Los círculos que tienen por cuerdas los lados de un cuadrilátero cíclico se vuelven a cortar en cuatro puntos concíclicos.

Ejercicio 9.- En un cuadrilátero ABCD, la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales más cuatro veces el cuadrado del segmento que une los puntos medios de las diagonales.

Cálculo de las diagonales de un cuadrilátero cíclico

Dado el cuadrilátero cíclico ABCD de lados a,b,c y d y de diagonales p y q. La razón de las diagonales es igual a la que existe entre las sumas de los productos de los pares de lados concurrentes en sus vértices respectivos.

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Demostración .- En el arco ABC subtendido por la diagonal p, permutamos los arcos de cuerdas a y b, obteniendo así un nuevo cuadrilátero cíclico AB'CD y por el teorema de Ptolomeo, tenemos que p l= a' d + b' c = a d + b c.
Permutando los arcos en el arco BAD, obtenemos el cuadrilátero cíclico A'BCD y la relación j q = a'' b + c d' = ab+cd.
Como las diagonales j y l son iguales, pues subtienden arcos iguales, resulta:

p/q= (ad+bc)/(ab+cd)

Como sabemos que pq = ac+bd, multiplicando miembro a miembro tenemos:

p2 = (ac+bd)(ad+bc)/(ab+cd)

q2 = (ac+bd)(ab+cd)/(ad+bc)

Área de un cuadrilátero ciclico (Fórmula de Brahmagupta)

La fórmula se puede obtener a partir del teorema del coseno, y teniendo en cuenta que los ángulos opuestos son suplementarios::

p2 = a2+b2-2 a b cosA = c2+d2 - 2cd cos C = c2+d2+2cd cosA

a2+b2-c2-d2 = 2(ab+cd) cosA(1)

por otra parte:

S=1/2 (ab senA+cd senC) = 1/2 (ab+cd) senA

de donde:

4S=2(ab+cd)senA(2)

elevando al cuadrado y sumando (1) y (2), obtenemos:

16S2+(a2+b2-c2-d2)=4(ab+cd)2

S2 =1/16 ((2ab+2cd+a2+b2-d2-c2)(2ac+2bd-a2-b2+d2+c2))=

=1/16 [(a+b)2-(d-c)2][(d+c)2-[(a-b)2]=

=1/16[(a+b+d-c)(a+b+c-d)][(a+c+d-b)(b++c+d-a)]=

=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)

donde s es el semiperímetro, así

S=Ö(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)

Otra expresión del área es: S= (p q r)/(4 R), donde R es el radio de la circunferencia circunscrita.

Cuadrilátero circunscritible

Un cuadrilátero se dice circunscriptible si se pude trazar una circunferencia tangente a todos sus lados.

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La condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero sea circunscriptible es que la suma de los lados opuestos sean iguales.

El área es el semiperímetro por el radio de la circunferencia circunscrita, S = s r

Ejercicio .- Si un cuadrilátero es bicentrico (inscrito e inscriptible) la fórmula del área es:

S=Ö(abcd)

Fórmula del área de un cuadrilátero cualquiera (Fórmula de Bretschneider)

La fórmula la obtenemos mediante el cálculo vectorial, representamos por a, b, c y d los vectores que representan los lados del cuadrilátero, se tiene que a+b+c+d = 0 y a+b = q y b+c = p, siendo p y q las diagonales.

El área es S= 1/2 |p×q|ÞS2= 1/4 (p×q) (p×q) = (p. p) (q.q) - (p.q)2 = p2 q2 - (p.q)2.

Por otra parte 2 (p.q) = 2 (b+c)(a+b) = 2 b (a+b) + 2 c (a+b) = - 2 b (c+d) + 2 c (a+b) = 2ca-2bd= (c+a)2-c2-a2-(b+d)2 + b2 + d2=-c2-a2+b2+d2= b2+d2-a2-c2, de donde:

S= 1/4Ö(4 p2q2-(b2-a2+d2-c2)2)

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Creado con GeoGebra por Pepe Martínez